在以线性规划为基础的饲料配方模型分析和应用中，对影子价格的表述有两个：一是配方营养约束条件的影子价格：二是原料的影子价格，秸秆颗粒机、秸秆压块机是压制颗粒饲料很好的选择。
1.1 配方营养约束条件的影子价格
根据线性规划模型对影子价格的基本定义，饲料配方中营养约束条件的影子价格指的是在其它约束条件不变的条件下，该营养约束条件的约束值改变一个单位，导致配方成本的改变。大多数的线性规划著作中都是这样定义营养约束条件的影子价格的。有些饲料配方文献将其定义为饲料配方唯一的影子价格，其依据或许即在于此。
然而，营养约束条件的影子价格本身对饲料配方、原料采购与管理基本上是没有意义的，而且在理解和应用不当的情况下，可能造成误导。但就线性规划模型的算法原理而言，约束条件作为一种独立资源，其影子价格对于增加生产或投资的决策往往有重大意义。该资源单位投入的实际成本如低于其影子价格，企业将增加收益：如超过其影子价格，企业将减少收益；如等于其影子价格，企业投资收支平衡(Wikipedia，2006)。但是，这一分析不适用于饲料配方中的营养约束条件。首先，各营养成分不是单独存在的资源，而是以多种成分同时存在的方式寄寓于饲料原料中的．我们不可能孤立地“买”、“卖”或投入某一营养成分。其次，大量的营养学研究证明，在约束的营养成分之间，尤其是能量和其它营养成分之间存在着密切关系。也就是说，它们之间不是独立变量(independent vari-able)，而是参（数）变量(parametric variable)关系。如果把能量视为独立变量或自变量，其它营养成分则是依存变量或因变量(dependent variable)。能量和其它营养成分只有在配方中保持一定的比例关系，各营养成分才能作为一种资源实现优化利用。配方中能量浓度提高或降低，其它营养成分如蛋白质、氨基酸，也应按比例提高或降低。对于大多数畜禽种类来说，各营养成分需要量之间的相互关系已经确立。一个合格的营养配方师在设定营养约束条件时，已将各营养成分需要量之间的相互关系考虑在内，只不过是在建立最低成本配方的线性规划模型时，将各营养成分约束条件“简化”或假设为独立变量。许多实际问题都是经过简化后，再建立线性规划模型，因此线性规划所提供的信息，未必完全适用于原实际问题的具体分析。将简化为独立变量计算出的“影子价格”用于调整配方，违背了以资源充分合理分配并有效利用为核心，资源优化利用下的实际价值（或成本）这一影子价格定义的基本出发点（何承等，2002）。这样做的结果，往往导致资源的浪费。例如，孤立地降低对能量浓度的约束（而不相应地降低对蛋白质、氨基酸的约束），必然导致蛋白质、氨基酸过多地从粪和尿中的流失，在集约化饲养条件下还将加重环境污染。如果一定要谈约束营养条件对配方成本的影响，只有将各主要营养成分的约束和能量“挂钩”，作为参数变量处理。这一点在简化了的“最大收益配方”模型(熊易强和裴鑫德，1987)和“参数配方”模型(Bushman，1997)中均做了阐述。“最大收益配方”与“参数配方”为非线性规划模型，但均可经过适当处理，用线性规划模型解决。
有些文献还在各营养约束条件的“影子价格”之间比较其对配方成本的影响或敏感程度，并得到“单位能量的变化对目标函数即配方成本最为敏感”的结论。在进行这类比较时，有关作者首先忽视了各营养约束所采用的单位。能量与以百分数或kg为单位的其它营养成分之间是不存在可比性的。在不存在可比性的能量与其它营养成分之间强行比较时，有关作者采用了兆卡作为能量单位，如改为千卡，其敏感度即降低到以兆卡为单位的千分之一，“能量对配方成本最为敏感”的结论，就不得不予以重新考虑了。其次，即使是同一单位，由于各营养成分（例如一个百分点的赖氨酸和一个百分点的蛋白质）之间内涵的不同，比较营养约束条件“影子价格”对配方成本的影响，也是没有什么意义的。
1.2饲料原料的影子价格
笔者认为应当强调饲料原料的影子价格。因为，就配合饲料的生产经营而言，饲料原料是投入的主要资源。现实中存在的是饲料原料的市场价格，我们就有必要研究和讨论其相应的影子价格。饲料原料的影子价格对饲料原料采购与管理有现实意义。
原料的影子价格的传统定义是：在给定的原料价格结构和配方约束条件下，在配方中被选中的某一饲料原料开始被其它原料所取代的价格：或者指某一未被选中的饲料原料开始进入配方中的价格（美国堪萨斯州立大学，“配合饲料生产工艺学1980”课堂讲授笔记：2001年与美国堪萨斯州立大学教授Behnke博士的交谈）。言外之意，所有被选人配方中的原料（除了作为约束条件迫使进入配方的原料之外）．市场价格必然低于其影子价格；所有未被选人配方的原料，市场价格必然高出其影子价格。一个原料的影子价格反映了该原料在配方中对于相关原料的实际价值。推算一个已被选中原料的影子价格，可以在固定其它原料价格的条件下，逐步提高该原料的价格，当该原料开始被其它原料所取代时，即是该原料的影子价格。同样，可以在固定其它原料价格的条件下，用逐步降低一个未被选中原料的价格来推算其影子价格。一般的专用饲料配方软件均可以在筛选出最低成本配方的同时，在原料价格的灵敏度一栏中得到参选原料影子价格的信息：对于配方中被选中的原料来说，其影子价格即是其灵敏度的上限；对于未被选人配方的原料来说，其影子价格即是其灵敏度的下限。
原料灵敏度分析属于线性规划中的目标函数系数的灵敏度分析(范玉妹等，2004；束金龙和闻人凯，2003)。在约束条件及其它参选原料价格不变的条件下，某一参选原料价格在其灵敏度范围内变动，不会改变配方。对入选原料来说，当该原料价格上升至灵敏度上限后，计算机即开始减少其在配方中的用量并相应补充其它相关参选原料，以实现“配方的单位成本最低”这一目标函数。因此，入选原料的灵敏度上限也就是该原料在该配方中的影子价格或实际价值。如出现没有灵敏度上限或原料灵敏度上限为无限大的情况时，其所提供的信息是：无论该原料价格上涨到多高，该原料在配方中的比例不会改变。这是一种较为罕见的情况，对配方优化和饲料市场经营不利，应予以避免。避免的途径：一是引入尽可能多的市场上可以买到的原料，尤其是与该原料有竞争关系的原料（例如玉米与大米、小麦、高粮之间作为能量饲料存在竞争关系，去皮豆粕与带皮豆粕、棉籽粕、菜籽粕之间作为蛋白饲料存在竞争关系）；二是合理而适当地调整配方的约束条件。至于人选原料的灵敏度下限，其所表达的含义是：当该原料的市场价格下降到其灵敏度下限以下（且其它参选原料价格及所有约束条件均不改变）时，计算机会选人更多的该原料，并相应降低其它原料在配方中的比例，以实现配方的单位成本最低这一目标函数。因此人选原料的灵敏度下限与原料的影子价格无关。根据线性规划模型导出的入选原料灵敏度低限有时会出现零或负值，这对于饲料原料的价格来说自然毫无意义。它所提供的信息是：在配方的约束条件中，其它参选原料价格不变的条件下，不管该原料市场价格如何进一步下降，其在配方中的使用量不可能增加：尽管该原料在配方中的使用量不可能增加，而且公司的销售量或生产量也不增加，如果该原料市场价格下降至远低于其影子价格并达到了历史上少见的“低谷”时，可以根据对市场前景的分析，资金及原料贮藏的技术条件，适当多购入一些该原料，以便在今后价格上涨的情况下，保证配方的低成本，或向市场出售。
对于未被选人配方的原料来说，当其市场价格降到其灵敏度下限以下（且其它参选原料价格及所有约束条件均不改变）时，计算机开始选入该原料。因此，线性规划中灵敏度下限也就是该原料在该配方中的影子价格或实际价值。未被选人配方的原料价格上涨不影响现有配方，因此不存在灵敏度上限，这是由线性规划的目标函数系数灵敏度的基本定义决定的。
1.3营养约束条件的影子价格和原料影子价格之间的关系
以上讨论的是不设约束条件的参选原料的影子价格。对于通过约束条件被计算机强迫纳入配方(≥)或限制其在配方中的使用量(≤)的原料影子价格，文献中涉及不多。一般说来，被设为约束条件的原料，其用量落在约束点（≤或≥）时，其影子价格可按线性规划模型约束条件的影子价格基本定义来确定，即在其它约束条件和其它原料价格不变条件下、该原料的约束值改变一个单位对配方成本的影响。需要提到的是，约束条件的影子价格，即原线性规划模型的对偶模型最优解的对偶变量，其具体数值仅适用于该约束条件的灵敏度范围（束金龙和闻人凯．2003）。至于原料约束条件的影子价格对饲料配方、原料采购和原料管理的意义，则需要具体分析。如果对某一约束原料的影子价格分析表明，从配方中增加或减少一个单位或一个百分点，可以显著降低配方成本；而营养配方师所设定的约束值又不是绝对不可调整的，该原料的这一影子价格信息对进一步改进配方设计就很有价值。对于以固定量（如1%）加入配方的预混料而言，其影子价格基本上是没有意义的。预混料的内涵是由营养配方师确定的各种微量添加成分，而以预混料的形式按固定量加入配方是为了饲料加工工艺的需要。营养配方师对此一般无意改变。至于预混料各种微量添加成分（如营养性或药物性添加剂）的影子价格，将在随后的原料影子价格实际应用的举例中讨论。如果被设为约束条件的原料，其用量落在约束点（≤或≥）以外时，其影子价格则应按无约束条件下的被选原料（即该原料在配方中灵敏度的上限）确定。
Rossi(2004)将饲料的影子价格定义为未被选人配方的原料灵敏度下限与该原料的市场价格之差，并认定入选原料的影子价格为零。
笔者认为Rossi的定义不妥。影子价格的一般概念是对市场价格而言的反映优化利用条件下资源的实际价值的一种计算价格（何承耕等，2002），因此不应当用与市场价格之差来表达，更不应当为零。饲料原料包括入选原料，作为一种资源，都存在着相对于其市场价格的影子价格。而在配方中的人选原料的灵敏度上限客观地反映了该原料在该配方中相对于相关原料的实际价值。当某入选饲料原料价格上升至灵敏度上限后，该原料在配方中的用量开始被其它原料取代．配方相应改变，这时电脑会显示出该原料的一个新灵敏度上限或新的影子价格，但已不是原来配方下的影子价格了。据此，Rossi (2004)提出了参数价格变化(parametric price changes)的概念。参数价格变化指的是当某入选饲料原料价格上升（下降）至灵敏度上限（下限）后，该原料在配方中的用量相应减少（增加）；据此还可以绘制出同一饲料配方约束条件及其它参选饲料原料价格不变条件下，该饲料在不同价格范围内在配方中用量的“关系图”或“价格图(price map)”。这对于饲料原料的采购与管理相当有价值。”在《数学规划及其应用》一书中，范玉妹等(2004)在用影子价格分析一例食品配方的线性规划问题中，用食品原料所含的营养约束条件影子价格的总和，计算该原料的影子价格。其计算结果与前述未被选中原料的影子价格（即未被选中原料的灵敏度下限）相同。该分析揭示了营养成分约束条件的影子价格与饲料原料影子价格之间的联系。但是，对于配方中的入选原料来说，用同一方法，即饲料原料所含的营养约束条件影子价格的总和计算该原料影子价格，其影子价格与其市场价格相同。这一计算结果本身是没有问题的，因为配方优化的结果本身就是根据原料的营养成分及原料的市场价格在给定的约束条件下得到的。这恐怕也是Rossi (2004)在以“差价”定义影子价格情况下认定入选原料影子价格为零的数学依据。现在面临的问题是如何定义入选原料的影子价格，是按“人选原料的影子价格就是其市场价格”定义，还是按前文中传统概念下的原料影子价格即“入选原料的影子价格是指该饲料原料在配方中开始被其它原料所取代的价格，也就是该原料价格灵敏度的上限”定义，笔者倾向于后者。这样定义的缺陷是偏离了范玉妹等(2004)表达和计算饲料原料影子价格和营养约束条件的影子价格之间关系的数学基础。但是，总比“入选原料的市场价格就是该原料的影子价格（或入选原料不存在市场价格以外的影子价格）”这一结论更合乎逻辑。将人选原料的影子价格定义为该饲料原料在配方中开始被其它原料所取代的价格，反映了该原料在给定的约束条件下与相关原料价格之间的关系．对饲料原料采购和管理具有现实意义。
2、饲料原料影子价格的应用
评价饲料原料的传统方法是计算饲料原料中每种主要营养指标（如蛋白质、限制性氨基酸、ME等）的价格。尽管不少营养师仍然以此为依据来评价饲料原料和指导饲料原料采购，但是这种方法往往不能表明饲料原料在配方中的真实价值。例如，从单项营养成分蛋白、代谢能、赖氨酸、蛋氨酸来比较，去皮豆粕的价值最高不超过带皮豆粕的110%。然而，大量、反复的饲料配方模拟于饲养试验的结果表明，去皮豆粕的实际价值对猪和肉鸡的饲养来说，相当于带皮豆粕的112%-127%，远远超过用单一营养成分所计算的价值。这是因为一种饲料原料的实际价值寄寓于一定的原料价格下，一定的饲料配方设计（营养成分和原料约束条件）矩阵的动态运算之中。去皮豆粕不仅蛋白质、氨基酸含量高，代谢能也高，在满足配方蛋白质氨基酸的约束条件下，可以在配方中给出更多的空间，以玉米取代价格相对较高的油脂。这里，我们指的是原料之间的“相对影子价格”，即一种原料与另一种或几种原料相互取代所导致的优化配方成本差异，或由此而计算的二者实际价值的比例关系。引入“相对影子价格”这一概念．是因为在原料采购和管理中经常要观察和比较市场上相关原料之间的价格比例关系。当然，这尚未涉及某原料在某特定条件下的影子价格，原料的相对影子价格也可以从试验数据中得到。
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